Binius STARKsの原理とその最適化思考の解析

1. はじめに

STARKsの効率が低下する主な理由は、実際のプログラムにおいてほとんどの数値が小さいことですが、Merkleツリー証明の安全性を確保するために、Reed-Solomon符号を使用してデータを拡張する際に、多くの追加の冗長値が全体の領域を占めることです。元の値自体が非常に小さいにもかかわらずです。この問題を解決するために、領域のサイズを縮小することが重要な戦略となりました。

第1世代STARKsのエンコーディングビット幅は252ビット、第2世代STARKsのエンコーディングビット幅は64ビット、第3世代STARKsのエンコーディングビット幅は32ビットですが、32ビットのエンコーディングビット幅には依然として大量の無駄なスペースが存在します。それに対して、二進数ドメインはビットを直接操作することを可能にし、エンコーディングはコンパクトで効率的であり、無駄なスペースがありません。つまり、第4世代STARKsです。

ゴルディロックス、ベビーベア、マースン31などの近年の新しい研究で発見された有限体と比較して、二進数体の研究は1980年代に遡ります。現在、二進数体は暗号学に広く応用されており、典型的な例としては:

• F28ドメインに基づくAdvanced Encryption Standard (AES)
• ガロワのメッセージ認証コード(GMAC)、F2128体に基づく
• QRコード、F28ベースのリード・ソロモン符号を使用
• 原始FRIとzk-STARKプロトコル、そしてSHA-3ファイナルに進出したGrøstlハッシュ関数は、F28体に基づいており、再帰に非常に適したハッシュアルゴリズムです。

小さなフィールドを使用する際、拡張フィールド操作はセキュリティを確保するためにますます重要になります。Biniusが使用する二進フィールドは、そのセキュリティと実際の有用性を保証するために完全に拡張フィールドに依存する必要があります。ほとんどのProver計算に関与する多項式は、拡張フィールドに入る必要はなく、基礎フィールドの下で操作するだけで、小さなフィールドで高効率を実現します。しかし、ランダムポイントのチェックとFRI計算は、必要なセキュリティを確保するために、より大きな拡張フィールドに深入りする必要があります。

二進数領域に基づいて証明システムを構築する際に、2つの実際的な問題があります：STARKsにおいてtraceを表現する際に使用する領域のサイズは多項式の次数よりも大きくなければならず；STARKsにおいてMerkle treeのコミットメントを行う際にはReed-Solomon符号化を行う必要があり、使用する領域のサイズは符号化された拡張後のサイズよりも大きくなければなりません。

Biniusは、これら2つの問題をそれぞれ処理する革新的なソリューションを提案し、同じデータを2つの異なる方法で表現することを実現しました。まず、単変数多項式の代わりに多変数(具体的には多次元)多項式を使用し、その値を"超立方体"(hypercubes)上で取り、全体の計算軌跡を表現します。次に、超立方体の各次元の長さが2であるため、STARKsのように標準のReed-Solomon拡張を行うことはできませんが、超立方体を方形(square)として見なし、この方形に基づいてReed-Solomon拡張を行うことができます。この方法は安全性を確保しつつ、エンコーディング効率と計算性能を大幅に向上させます。

2. 原理分析

現在ほとんどのSNARKsシステムの構築は通常次の2つの部分を含みます:

• 情報理論的多項式インタラクティブオラクル証明(Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOPは証明システムの核心として、入力された計算関係を検証可能な多項式等式に変換します。異なるPIOPプロトコルは、検証者とのインタラクションを通じて、証明者が段階的に多項式を送信することを許可し、検証者は少量の多項式の評価結果をクエリすることで計算が正しいかどうかを検証できます。既存のPIOPプロトコルには、PLONK PIOP、Spartan PIOP、HyperPlonk PIOPなどがあり、それぞれが多項式表現の取り扱い方に違いがあり、全体のSNARKシステムの性能と効率に影響を与えます。

• 多項式コミットメントスキーム(Polynomial Commitment Scheme, PCS):多項式コミットメントスキームは、PIOPが生成した多項式等式が成り立つかどうかを証明するために使用されます。PCSは暗号学的ツールであり、これを通じて証明者はある多項式にコミットし、その後でその多項式の評価結果を検証できると同時に、多項式のその他の情報を隠すことができます。一般的な多項式コミットメントスキームにはKZG、Bulletproofs、FRI(Fast Reed-Solomon IOPP)およびBrakedownなどがあります。異なるPCSは異なる性能、安全性、適用シーンを持っています。

具体的な要件に応じて、異なるPIOPやPCSを選択し、適切な有限体または楕円曲線と組み合わせることで、異なる属性を持つ証明システムを構築できます。例えば:

• Halo2: PLONK PIOP と Bulletproofs PCS を組み合わせ、Pasta 曲線に基づいています。Halo2 の設計では、スケーラビリティと ZCash プロトコルの trusted setup の排除に重点が置かれています。

• Plonky2: PLONK PIOPとFRI PCSを組み合わせ、Goldilocks領域に基づいています。Plonky2は効率的な再帰を実現するために設計されています。これらのシステムを設計する際に選択されたPIOPとPCSは、使用される有限体または楕円曲線と一致している必要があり、システムの正確性、性能、安全性を確保します。これらの組み合わせの選択は、SNARKの証明サイズと検証効率に影響を与えるだけでなく、システムが信頼できる設定なしで透明性を実現できるか、再帰的証明や集約証明などの拡張機能をサポートできるかどうかを決定します。

Binius:HyperPlonk PIOP +ブレーキダウンPCS +バイナリドメイン。 具体的には、Biniusには、その効率性と安全性を実現するための5つの主要技術が含まれています。 まず、バイナリfields(のタワーバイナリドメイン)towersに基づく演算がその計算の基礎を形成し、バイナリドメインでの簡略化された操作を実現できます。 次に、Biniusは、インタラクティブなOracleプルーフプロトコル(PIOP)で、HyperPlonk製品と順列チェックを適応させて、変数とその順列との間の安全で効率的な一貫性チェックを確保します。 第 3 に、このプロトコルでは、小さなドメインでのマルチリニア関係の検証効率を最適化するために、新しいマルチリニア シフト引数が導入されています。 第 4 に、Binius は Lasso ルックアップ引数の改良版を採用しており、ルックアップ メカニズムに柔軟性と強力なセキュリティを提供します。 最後に、このプロトコルは、スモールフィールド多項式コミットメントスキーム(スモールフィールドPCS)を使用しているため、バイナリドメインに効率的な証明システムを実装し、通常、大規模ドメインに関連するオーバーヘッドを削減することができます。

2.1 有限体:二値体の塔に基づく算術

タワー型二進法体は、迅速な検証可能な計算を実現するための鍵であり、主に2つの側面に起因しています: 効率的な計算と効率的な算術化です。二進法体は本質的に非常に効率的な算術操作をサポートしており、性能要件に敏感な暗号学的アプリケーションに理想的な選択肢です。さらに、二進法体の構造は、簡略化された算術化プロセスをサポートしており、すなわち二進法体上で実行される演算は、コンパクトで検証しやすい代数形式で表現することができます。これらの特性に加えて、タワー構造を通じて階層的な特性を十分に活用できる能力により、二進法体はBiniusのようなスケーラブルな証明システムに特に適しています。

ここで「canonical」とは、バイナリフィールドにおける要素の唯一かつ直接的な表現方法を指します。たとえば、最も基本的なバイナリフィールドF2では、任意のkビットの文字列は直接kビットのバイナリフィールド要素にマッピングできます。これは素数フィールドとは異なり、素数フィールドは指定されたビット数内でこのような標準の表現を提供できません。32ビットの素数フィールドは32ビットに収めることができますが、すべての32ビットの文字列が一意にフィールド要素に対応できるわけではなく、バイナリフィールドはこの一対一のマッピングの利便性を持っています。素数フィールドFpでは、一般的な還元方法にはBarrett還元、Montgomery還元、およびMersenne-31やGoldilocks-64などの特定の有限体に対する特別な還元方法が含まれます。バイナリフィールドF2kでは、一般的な還元方法には特別な還元(があり、これはAESで使用される)、Montgomery還元(がPOLYVALで使用され、再帰的還元)はTower(に使用されます。論文『Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations』は、バイナリフィールドが加算と乗算においてキャリーを導入する必要がなく、バイナリフィールドの平方演算が非常に効率的であることを指摘しています。なぜなら、それは)X + Y (2 = X2 + Y 2の簡略化ルールに従っているからです。

図1に示すように、128ビットの文字列：この文字列は、バイナリフィールドのコンテキストでさまざまな方法で解釈できます。それは128ビットバイナリフィールドのユニークな要素として見ることができるか、または2つの64ビットタワーフィールド要素、4つの32ビットタワーフィールド要素、16の8ビットタワーフィールド要素、または128のF2フィールド要素として解析できます。この表現の柔軟性は、計算コストを必要とせず、単にビット文字列の型キャスト)typecast(であり、非常に興味深く役に立つ特性です。同時に、小さなフィールド要素は、追加の計算コストなしにより大きなフィールド要素にパッケージ化できます。Biniusプロトコルは、この特性を利用して計算効率を向上させています。さらに、論文「On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two」は、nビットタワー型バイナリフィールドにおいて)、mビットサブフィールド(への乗算、平方、および逆演算の計算の複雑さを探求しています。

! [Bitlayer研究:Binius STARKsの原理分析と最適化思考])https://img-cdn.gateio.im/webp-social/moments-5775a629f494c4e01e2b74d864fa4100.webp(

) 2.2 PIOP: バイナリドメイン用の適応 HyperPlonk プロダクトと PermutationCheck ------

BiniusプロトコルのPIOP設計はHyperPlonkを参考にしており、多項式と多変数セットの正確性を検証するための一連のコアチェックメカニズムを採用しています。これらのコアチェックには:

1. GateCheck: 秘密証明ωと公開入力xが回路演算関係C###x,ω(=0を満たしているかを検証し、回路が正しく動作することを確保します。

2. PermutationCheck: fとgの2つの多変数多項式がブール超立方体上での評価結果が置換関係であるかどうかを検証します f)x( = f)π(x(), 多項式の変数間の並びの一貫性を確保するために。

3. LookupCheck: 多項式の評価が指定された lookup テーブルにあるかどうかを検証します。つまり、f)Bµ( ⊆ T)Bµ( であり、特定の値が指定された範囲内にあることを確認します。

4. MultisetCheck: 2つの多変数集合が等しいかどうかを確認します。すなわち、{)x1,i,x2,(}i∈H={)y1,i,y2,(}i∈H、複数の集合間の一貫性を保証します。

5. ProductCheck: 有理多項式がブール超立方体上での評価がある指定された値∏x∈Hµ f)x( = s と等しいかどうかを検査し、多項式積の正確性を確保します。

6. ZeroCheck: 多変数多項式がブール超立方体上の任意の点でゼロであるかどうかを検証する ∏x∈Hµ f)x( = 0, ∀x ∈ Bµ, 多項式のゼロ点分布を確保するため。

7. SumCheck: 多変数多項式の合計が宣言された値∑x∈Hµ f)x( = sであるかどうかを検出します。多変数多項式の評価問題を単変数多項式の評価に変換することで、検証者の計算の複雑さを低減します。さらに、SumCheckはバッチ処理を可能にし、ランダム数を導入することで複数の和の検証インスタンスをバッチ処理する線形結合を構築します。

8. BatchCheck:SumCheckに基づいて、複数の多変量多項式評価の正確性を検証し、プロトコールの効率を向上させます。

BiniusはHyperPlonkとプロトコル設計において多くの類似点があるにもかかわらず、以下の3つの点で改善を行っています:

• ProductCheckの最適化: HyperPlonkでは、ProductCheckは分母Uが超立方体上で常に非ゼロであり、積が特定の値に等しいことを要求します; Biniusはこの値を1に特化することで、このチェックプロセスを簡素化し、計算の複雑さを低減しました。

• ゼロ除算の処理: HyperPlonkはゼロ除算のケースを十分に処理できず、超立方体上のUが非ゼロであるかどうかを断言できない; Biniusはこの問題を正しく処理し、分母がゼロのときでもBiniusのProductCheckは処理を続け、任意の積値への拡張を許可する。

• 列間のPermutationCheck: HyperPlonkにはこの機能がありません; Biniusは複数の列間でPermutationCheckをサポートしており、これによりBiniusはより複雑な多項式の排列状況を処理できるようになります。

したがって、Biniusは既存のPIOPSumCheckメカニズムの改善を通じて、プロトコルの柔軟性と効率を向上させ、特により複雑な多変数多項式検証を処理する際に、より強力な機能サポートを提供しました。これらの改善はHyperPlonkの限界を解決するだけでなく、将来のバイナリフィールドに基づく証明システムの基盤を築くものです。

! [Bitlayer研究:Binius STARKsの原理分析と最適化思考])https://img-cdn.gateio.im/webp-social/moments-1fb9ecbf9b3b2beaec758f3ab686a012.webp(

) 2.3 PIOP:新しいマルチラインシフト引数------ブールハイパーキューブに適用

Biniusプロトコルでは、仮想多項式の構築と処理は重要な技術の1つであり、入力ハンドルや他の仮想多項式から派生した多項式を効果的に生成および操作することができます。以下は2つの重要な方法です:

• Packing:この方法は、辞書順で隣接する位置の小さい要素をより大きな要素にパッケージ化することによって行われます。